Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Энциклопедический словарь Брокгауза и ЕвфронаСлова на букву «Н» в энциклопедии Брокгауза и ЕфронаНаибольшие и наименьшие показатели

Наибольшие и наименьшие показатели в энциклопедии Брокгауза и Ефрона

Наибольшие и наименьшие показатели

Способ Н. и наименьших показателей был предложен Ньютоном для разложения переменного у в ряд по убывающим или по возрастающим степеням переменного х в тех случаях, когда х и у связаны уравнением вида f(x,y) = 0. Способ этот, называемый также параллелограммом Ньютона, может иметь широкое применение к теории алгебраических функций, к исследованию особых точек кривых, к теории дифференциальных уравнений и так далее. Пусть данное уравнение будет:

Цель рассматриваемого способа заключается в отыскании разложения переменного у по степеням переменного x, т. е. в нахождении для разложения: y = Ax? + By? + Cy? показателей: ?, ?, ?.. . и коэффициентов: А, В, С.. . Положим, что требуется найти разложение по восходящим степеням, т. е. что: ? ( ? ( ?... Вставив в данное уравнение (1) вместо у величину Ax? получим:

если ? наименьший показатель в искомом разложении, то (по Ньютону) среди величин: (3)... m0 + m0?; m1 + m1?; m2 + m2?.. . найдутся по крайней мере две, которые будут равны между собой и меньше остальных величин ряда (3). В силу этого принципа задача о нахождении ? сводится к тому, чтобы составить всевозможные равенства из величин ряда (3), приравнивая их одну другой, из полученных уравнений определить различные значения ? и из этих значений выбрать такие, которые обращали бы соответственные равные величины ряда (3) в наименьшие. Выбранные таким порядком значения и будут наименьшими показателями разложения. Сколько определится наименьших показателей, столько будет и разложений, удовлетворяющих вопросу. Для определения коэффициента А, вставим один из найденных наименьших показателей вместо ? в уравнение (2) и приравняем нулю сумму коэффициентов тех членов этого уравнения, которые окажутся содержащими одинаковые степени переменного x. Таким образом получим уравнение, из которого определится А. Найдя ? и А, полагаем: у = Ах? + y1 Вставляя эту величину переменного у в данное уравнение (1), получим уравнение вида F(x,y1) = 0, с которым поступаем так, как до сих пор поступали с данным уравнением, причем найдем второй член Вх? искомого разложения. Однако, здесь мы выбираем только тех показателей переменного х в разложении у, которые, удовлетворяя началу наименьших показателей, будут более найденного ?. Затем, полагая у1 = Вх?у11 преобразуем уравнение F(y,x1) = 0 в уравнение F1(x,у11) = 0 и продолжаем вычисление для определения Cy? и дальнейших членов разложения. Для нахождения таких значений ?, при которых некоторые из величин ряда (3) вышли бы равными между собой и меньшими остальных, служит табличка (см. ниже). Пусть дано уравнение: (1)'.. . x2y3 — 3x3y2 — 3y2 + xy + x4 + 1 = 0 Вставляя в него вместо у величину Ах, получим: (2)'.. . A3х3? + 2 — 3A2x2? +3 — A2x2? + Ax ? + 1 + 1 = 0 Показатель 2 ? + 3 второго члена уравнения (2) не следует принимать в рассмотрение, потому что он при всяких ? более показателя 2 ? третьего члена. Ряд, соответственный ряду (3) изложенной выше теории, будет: (3)'.. . 3? + 2; 2?; ? + 1; 0. Найдя всевозможные уравнения, составленные из этих величин, как то: 3? + 2 = 2?; 3? + 2 = ? + 1 и проч. и вставляя в ряд (3) определенные из этих уравнений значения ?, составляем табличку:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|                                | I           | II              | III              | IV          | V         | VI            || Величины ряда (3)'  |------------------------------------------------------------------------------------------------||                                | = — 2   | ? = —1/2   | ? = —2/3   | ? = + 1   | ? = 0   | ? = — 1   ||---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|| 3? + 2                     | — 4      | + 1/2         | 0              | 5            | 2         | + 1           ||---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|| 2?                           | — 4      | — 1          | — 4/3        | 2            | 0         | — 2         ||---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|| ? + 1                       | — 1      | 1/2            | 1/3             | 2            | 1         | 0              ||---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|| 0                             | 0          | 0              | 0              | 0            | 0         | 0              |---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Началу наименьших показателей удовлетворяет только ? = — 2 и ? = 0, потому что только в 1-м и V-м столбцах мы находим величины, равные между собой и меньшие сравнительно с другими величинами своего столбца; именно в 1-м столбце число — 4 стоит против 3? + 2 и против 2?, в V-м столбце число 0 стоит против 2? и против 0. Напр. IV столбец и соответственная ему величина ? = + 1 не годятся, потому что, хотя в этом столбце число 2 встречается два раза, но в нем же есть число 0, которое меньше чем 2. Итак, возможны два допущения для первого члена искомого разложения: А1х— 2 и А2х0. Для определения А1 замечаем, что при подстановке — 2 вместо ? в уравнение (2)' окажутся равными показатели членов: A3х3? + 2 и A2x2?. Приравнивая сумму их коэффициентов нулю, получим: А3 — А2 = 0, откуда А1 = 1. Точно так же найдем (из подстановки числа 0 вместо ?), что А2 = ± 1. Итак, получим три разложения: у = x— 2 +.. . у = + 1 +.. . y = — 1 +.. . Указанным в приведенной выше теории порядком найдем и остальных членов этих разложений. Остановимся, напр., на первом разложении. Первый член его мы нашли равным x— 2. Чтобы найти следующий член, полагаем: у = x— 2 + y1. Вставив эту величину у в данное уравнение, получим: x2(x— 2 + y1)3 — (3x3 + 1) (x— 2 + y1)2 + x(x— 2 + y1) + x4 + 1 = 0 поступая с полученным уравнением подобно тому, как поступали с данным, определим В и ? и так далее. В получаемом таким путем разложении по восходящим степеням переменного х можно пренебрегать высшими степенями этого переменного, если х небольшая величина. Если же х величина большая, то можно пренебрегать его малыми степенями, а потому в этом случае удобнее стремиться найти разложение у по нисходящим степеням переменного х. В этом случае прибегают к способу Н. показателей, совершенно сходному со способом показателей наименьших. Рассматриваемый способ был дан Ньютоном в знаменитом его сочинении: "Methodus fluxionum et serierum infinitarum cum ejusdem applicatione ad curvarum geometriam". Затем этот способ положен основанием изучения алгебраических кривых в сочинении Крамера: "Introduction a l'analyse des lignes courbes algebriques" (1750). Лиувилль применил этот способ к вычислению некоторых симметрических функций: "Jonrnal des Mathematiques pures et appliquees" (т. VI). Пюизе прилагал этот способ к теории алгебраических функции, Бугаев — к теории дифференциальных уравнений: "Математический Сборник" (т. XVI). Геометрическое построение, соответствующее этому способу, изложено в "Аналитической Геометрии" Д. А. Граве. В аналитической форме способ Н. и наименьших показателей изложен у Serret в его "Cours d'algebre superieure" (т. II) и у Бугаева в его ст.: "Различные приложения начала Н. и наименьших показателей к теории алгебраических функций" ("Матем. Сборник", т. XIV). Н. Д.(function(){function get_correct_str(a,b,c,d,e){(!e)&&(e="%d");var g,f=a%100;f>10&&f1&&f1?h.join(a):a+" "+g}var postMessageReceive = function(e){ //console.log("EVENT ", e.data); if(e.data == "vid_has_advert") { document.getElementById("video-banner-close-btn").hidden = false; var iTimeout = 31; var btn = document.getElementById("video-banner-close-btn"); var interval = setInterval(function() { // console.log("..."); iTimeout--; if(iTimeout) { btn.innerHTML = "Рекламу можно будет закрыть через "+get_correct_str(iTimeout, "секунду", "секунды", "секунд")+""; } else { btn.style.cursor = "pointer"; btn.style.fontSize = "14px"; btn.innerHTML = "Закрыть"; btn.className += " Activated"; btn.onclick = function() { this.parentElement.parentElement.removeChild(this.parentElement); } clearInterval(interval); } }, 1000); } if(e.data == "end_reklam_videoroll") { // Видеоряд закончился, но мог загрузиться другой. С небольшой задержкой проверим, не скрыл ли videopotok свой iframe setTimeout(function() { if(document.getElementById("adv_kod_frame").hidden) document.getElementById("video-banner-close-btn").hidden = true; }, 500); }}if (window.addEventListener) { window.addEventListener("message", postMessageReceive);} else { window.attachEvent("onmessage", postMessageReceive);}})();

Возможно захотите узнать: Наибольшее значение, Наибольший делитель, Мануил II Палеолог.

Уважаемые посетители сайта!

На данной странице представлена информация о Наибольшие и наименьшие показатели в энциклопедии Брокгауза и Ефрона. Если Вы считаете, что допущены какие-то ошибки, прошу Вас написать об этом администрации сайта. Ошибочный запрос - jghtltktybt gjyznbz yfb,jkmibt b yfbvtymibt gjrfpfntkb d ckjdfht ,hjrufepf tahjyf. Такие ошибки обычно происходят, когда при вводе запроса в строку поиска пользователь забыл сменить раскладку клавиатуры.

Ссылки на страницу

  • Прямая ссылка: http://brokgauz-efron.ru/70746/
  • HTML-код ссылки: <a href='http://brokgauz-efron.ru/70746/'>Наибольшие и наименьшие показатели</a>
  • BB-код ссылки: [url=http://brokgauz-efron.ru/70746/]Наибольшие и наименьшие показатели[/url]

© 2018, Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона